M/M/1待ち行列モデル(情報処理技術者試験)

M/M/1待ち行列モデルの計算で覚えやすい解説をしているサイトを見つけました。
https://www.ikeriri.ne.jp/mm1/

■ MM1モデル待ち行列らくらくメモ

■ 待ち行列らくらくメモ

ネットワークおよびキャパシティプランニングの問題において、待ち行列問題はよく登場します。ここで、ソフトウエア開発技術者試験においては、M/M/1モデルが出題されます。

M/M/1は、それぞれ、到着/サービス/窓口数を表します。

M/M/1モデルの場合、到着はポアソン分布に従い、サービスは指数分布に従います。これはどちらも一定ではなくランダムという意味であるが、意味が少し異なります。

覚え方:「ポアソンとうちゃんシースルーでサービス」

ポアソン分布 到着率 指数分布 サービス率

コンビニの例で考えると、ポアソン分布はお客さんが店に入ってくる頻度です。お客さんはある時は集団で入ってきたり、まったく来なかったりします。ポアソン分布は0にもなりうります。

指数分布はレジがお客さんをさばく頻度です。レジではお弁当を温めたり、領収証を要求するお客さんに対しては時間がかかるが、缶コーヒーを買うお客さんに対しては時間はかかりません。しかし時間が0ということはありません。これが指数分布です。

窓口数は、レジが一つかどうかを表す。2つあればM/M/2,3つあればM/M/3となるが、ソフトウエア開発技術者試験ではほぼ窓口数は1つと考えて構いません。窓口数が2のときには対応するグラフや表が問題に用意されているので、それにしたがって解答すればOKです。なお、サービス時間が一定であるM/D/1モデルというのもある。イメージとしては観覧車のイメージであるが、これももし出題されても資料が用意されます。

ここで、M/M/1モデルを解答する例として、銀行のATM装置を例に考えます。ATMにおいては残高照会、振込、引出などのサービスを提供しており、それぞれのサービス時間は異なるが平均で3分とする。またこのATMは1時間当たり16人が利用するものとする。

まず、窓口利用率ρ(”ろー”と読む)を求める。

λ(到着率)

ρ=───────

μ(サービス率)

(”λ”は”らむだ”、”μ”は”みゅー”と読む)

まずλとμの単位を決めます。問題を通じてこの単位をそろえることに注意してください。単位の分子は処理単位(この場合は「人」)、分母は時間の単位(この場合は「時間」)とします。

λ(到着率=何人やってくる?) (人/時間)

ρ=──────────────────────

μ(サービス率=何人さばける?)(人/時間)

分子には到着の頻度、分母には処理能力を入れます。(窓口利用率は、情報処理技術者試験的には1より小さい値となります。従って単位をそろえたならば、分子に小さい値、分母に大きい値を入れればOKです。)

λ(到着率)  到着の頻度 16(人/時間)

ρ=───────=─────=───────=0.8

μ(サービス率) 処理能力  20(人/時間)

窓口利用率ρを求めたら、並んでいる人数と、平均待ち時間と平均応答時間を求める。

並んでいる人数は、以下の式で求める。

ρ   0.8

並んでいる人数=───=─────=4(人)

(待ち行列長) 1-ρ 1-0.8

平均待ち時間は、ATM装置の行列に並び始めてから、自分の番が来るまでの時間である。したがって、4人のお客さんにそれぞれ3分かかるので、平均待ち時間は以下の式となる。

平均待ち時間=並んでいる人数×処理能力(分)=4(人)×3(分)=12(分)

待ち行列長   サービス時間

このATM装置は、12分は並んで待たねばならないということである。

平均応答時間は、ATM装置の行列に並び始めてから、自分の処理が終了するまでの時間である。したがって、先に求めた平均待ち時間12分に、自分の処理にかかる時間を加えればよい。平均応答時間の式は以下のようになる。

平均応答時間=平均待ち時間(分)+自分の処理に要する時間(分)

=待ち行列長*サービス時間+サービス時間

=12(分)+3(分)=15(分)

この平均応答時間は以下の式でも求めることができます。上記手順で求めるのもいいが、試験では時間との戦いになるので、式を覚えられるのなら覚えてしまえばOKです。

1         1   1

平均応答時間=─────────────=─────=─(時間)=15

μ(人/時間)-λ(人/時間) 20-16 4

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